Introduction
Trigonometric Series
→ $a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + b_2 \sin 2x + \cdots$
어떠한 함수가 삼각함수들의 합으로 나타내진다고 하자.
Example
$f(x) = \begin{cases}-k \:\: & -\pi < x<0 \\ k & 0<x<\pi \end{cases}$ and $f(x+2 \pi) = f(x)$
위 경우 푸리에 수열을 찾으면
$$\frac{4k}{\pi} (\sin x + \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{5} \sin 5x + \cdots)$$
(How는 잠시후에, 지금은 이렇게 표현될 수 있다는 것만!)
Fourier Series
다음과 같이 벡터공간을 정의하자.
$$V=\left\{f:[-\pi, \pi] \rightarrow \R \:| \:f\: \text{is continuous}\right\}$$
그리고 내적을 아래와 같이 정의할 수 있다.
$$\left<f,g \right> = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} fg$$
이렇게 벡터공간을 정의하면 $\left\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x ,...\right\}$로 orthogonal한 기저를 잡을 수 있다.
orthogonal함은 삼각함수의 연산을 통해서 증명이 가능하다. $ \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx dx = 0 $, 이런식으로 3개를 보이면 되겠다.
따라서 모든 연속함수는 위 기저를 통해 나타낼 수 있다.
모든 연속함수가 삼각함수를 기저로 하는 벡터공간에 있음을 알게 되었으니 이제 projection을 구해서 각각의 성분의 계수를 구하면 된다.
따라서 오일러 공식
$$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nx dx = 0$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin nx dx = 0$$
! $a_n$ 에 $1/2$이 사라진 이유!
$ \left<\cos,\cos \right> = \dfrac{1}{2}$ 이므로 성분을 구할 때 $\dfrac{1}{2}$로 나눠준다
Convergence and Sum
요약: 함수가 연속이면 푸리에 급수는 수렴한다.
Arbitrary Period
$f(x) = f(\dfrac{L}{\pi}x)$ 로 변형해서 적용하면 된다.
Approximation by Trigonometric Polynomial
$[-\pi, \pi]$에서 정의된 푸리에 급수로 표현될 수 있는 $f$를 잡자.
푸리에급수의 부분합은 아래와 같다.
$$a_0 + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$
이것은 trigonometric polynomial을 활용한 "가장 좋은" 근사이다.
Defining Error
증명을 위해 제곱합 오차를 아래와 같이 정의한다.
$$E^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f-F)^2 dx$$
$E = || f-F ||$ 로 표기하기도 한다.
이 정의를 활용하여 $a_0 + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 를 대입해서 계산하면 trigonometric polynomial의 계수가 푸리에 급수일 때가 최소임을 알 수 있다.
한편 선형대수학의 관점에서 보면 $N$차원 기저에 $f$를 프로젝션 했으므로 $f-F$에는 기저와 직교하는 항들만 남아 최소임을 알 수 있다.
Parseval's Identity
푸리에 변환이 유니터리하다는 정리이다. 공학 수학에서는 내용을 비교적 얕게 배웠기에 깊은 설명은 어렵지만 시간영역과 주파수 영역에서 에너지의 양이 동일하다라는 내용을 전달한다. 푸리에 변환이 하는 것은 결국 각 주파수에 대해서 $\cos , \sin$의 projection을 구하여 주파수($\omega$)에 따라서 표현하는 것이다. 이때 에너지에 해당하는, 각 계수들의 제곱의 합은 아래와 같이 보존된다.
$$\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2 dx = a_0 ^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} (a_n ^2 + b_n ^2)$$
더 일반적으로는 아래와 같이 적는다.
$$\begin{align*} A(x) &=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} \\ B(x) &=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx} \\\sum_{n=\infty}^\infty a_n\overline{b_n} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} \, \mathrm{dx}\end{align*}$$
Fourier Integral
푸리에 급수를 주기에 무관한 일반 함수에도 적용하는 것이 목표이다. $\omega_L = \frac{n \pi}{L}$라 두면, 주기가 $2L$인 주기함수를
$$f_L (x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \omega_n x + b_n \sin \omega_n x)$$
위처럼 작성할 수 있다.
주기가 없는 함수들은 곧 주기가 무한대라고 생각할 수 있으니 $\lim_{L\rightarrow \infty}$를 취하자.
$$\begin{align*}f_L (x) &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \omega_n x + b_n \sin \omega_n x) \\ &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f_L (v) dv + \frac{1}{L} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\int_{-L}^{L} f_L (v) \cos \omega_n v dv \right) \cos \omega_n + \left( \int_{-L}^{L} f_L (v) \sin \omega_n v dv \right) \sin \omega_n \right]\end{align*} $$
$L \rightarrow \infty$를 취하면,
$$\begin{align*} f (x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \left(\int_{-\infty}^{\infty} f (v) \cos (\omega v) dv \right) \cos \omega x + \left( \int_{-\infty}^{\infty} f (v) \sin (\omega v) dv \right) \sin \omega x \right] d \omega \end{align*} $$
너무 기니까 핵심만 적어주면,
$$\begin{align*} f (x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ A(\omega ) \cos \omega x + B(\omega ) \sin \omega x \right] d \omega \\ A(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f (v) \cos (\omega v) dv , \\ B(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f (v) \sin (\omega v) dv \end{align*} $$
결국, 푸리에 급수와 꼴이 똑같다는 걸 알 수 있다.
Comment.
푸리에 급수와 적분에서 알아두어야 할 점은 급수 표현에서는 $\cos nx$와 같이 이산적으로 표현되던 기저가 푸리에 적분에서는 연속적인 $\cos (\omega x)$ 꼴의 형태로 바뀌었다는 점이다,
일반적으로 $\cos , \sin$ 표현보다는 지수표현이 훨씬 더 깔끔하다. 지수표현으로 변환하면 푸리에 적분의 복소 표현식을 구할 수 있다.
$$ \begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(v) e^{ -iv x} \mathrm{d} v \right] e^{i \omega x} \mathrm{d} \omega \end{align*} $$
여기서 $ \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(v) e^{ -iv x} \mathrm{d} v \right] $ 부분을 푸리에 변환, $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(f) e^{i \omega x} \mathrm{d} \omega $ 부분을 역푸리에변환이라고 한다.
푸리에 변환은 $\mathcal{F}$, 역푸리에 변환은 $\mathcal{F}^{-1}$로 표기한다.
→ $f = \mathcal{F}^{-1} (\mathcal{F}(f)) $
Comment.
푸리에 변환에서 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$항이 $\mathcal{F}$와 $\mathcal{F}^{-1} $ 둘 다 존재하는 이유는 푸리에 변환과 역변환 사이 일관성을 맞추기 위함이다. 용도에 따라 한 쪽 변환에만 $ \frac{1}{2\pi} $를 붙이는 것도 가능하다. 실수 없이 일관적으로 정의하기만 하면 된다. 일반적인 푸리에 변환식과는 달리 DFT에서는 한쪽 변환에만 상수를 붙혀둔 것을 볼 수 있다. 이것 역시 편의를 위한 것이다.
Discrete Fourier Transform (DFT)
DFT는 이산적인 데이터에 대한 푸리에 변환이다. 이게 무슨 뜻이냐면, 내가 1초마다 도로의 소음을 측정하면 "1초"마다 데이터가 추가될 것인데, 이처럼 연속적인 함수를 가진 상황이 아니라 이산적인 데이터를 가진 상황에서 쓴다는 뜻이다. 기본 아이디어는 같다. 내가 샘플링한 데이터를 첫 번째부터 $f_0, f_1 , \cdots$라고 했을 때 저 $f_n$들이 어떠한 삼각함수들의 합일거라는 아이디어 있다. 즉,
$$f_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} c_n e^{in x_k}$$
라고 표현할 수 있다 ($x_k = \dfrac{2\pi k}{N}$, $f_k = f(x_k)$). 여기서 $x_k$는 `1초` 마다 측정했다고 했을 때 시간축에 해당하는 값이다.
푸리에 변환에서는 저 $c_n$ 값을 내적을 통해 구했다. 똑같이 구해진다.
$$c_n= \sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i n x_k}$$
푸리에 변환의 확장일 뿐이라 이게 전부이긴 하다. (생각보다 별게 없음)
위 내용을 바탕으로 이산 푸리에 변환을 정의한다.
$$ \mathcal{F}_k = \sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-\frac{ 2\pi i k} {N} n } $$
$$ \mathcal{f}_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \mathcal{F} _n e^{\frac{ 2\pi i k} {N} n } $$
Note.
앞서 언급했듯 상수는 어디선가 곱해주면 되는 것이기 때문에 $ \frac{1}{N} $을 어디에 써주든 큰 상관이 없다
이게 이산 푸리에 변환의 개념이다.
근데 조금 자료를 찾다 보면 푸리에 행렬이라는 것을 찾을 수 있을 것이다. 이게 무엇이고 갑자기 푸리에변환을 하는데 웬 행렬인가 하니, $ c_n= \sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i n x_k} $ 표현 때문에 등장하는 것이다. 잘 보면 이 식은 cos, sin의 계수를 찾는 과정, 즉, 연립방정식으로 볼 수 있다. 그리고 N개의 변수과 N개의 식이 있는 연립방정식이니, 아래처럼 행렬로 나타낼 수 있다.
$$\left[ c_n \right] = \left[ F_N \right] \left[ f \right] $$
여기서 $F_N$에 해당하는 것이 푸리에 행렬이다.
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