[공학수학1] 라플라스 정리 (Note taking)

시험에 필요한 내용 및 IVP 풀이에 쓰이는 내용을 압축해서 정리했다. 주요 조건들은 생략한 것들이 많아 사용전 제대로 공부할 필요가 있다.

 

Laplace Transform

정의

$$F(s) = \mathcal{L} (f(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \mathrm{d}t$$

기본 idea는 함수를 지수를 곱하고 적분함으로써 캡쳐하는 것이다. 이후에 나올 디랙 델타함수를 보면 이 표현이 더 와닿을 것이다.

특징

• Linear 함
• Shifting / sifting 특징
• 미분, 적분 연산이 곱하기 나누기 연산으로 바뀜

주요 Transform (암기 필요)

$f$	\mathcal{L} (f)
$1$	$\dfrac{1}{s}$
$t$	$\dfrac{1}{s^2}$
$t^2$	$\dfrac{2!}{s^3}$
$t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\dfrac{1}{s-a}$
$\cos \omega t$	$\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$
$\sin \omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$\cos a t$	$\dfrac{s}{s^2 - a^2}$
$\sinh a t$	$\dfrac{a}{s^2 - a^2}$

 

미분 / 적분

$\mathcal{L}{f'} = s \mathcal{L}{f} - f(0) $

→$\mathcal{L}{f^{(n)}} = s^n \mathcal{L}{f} - s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) $

$\mathcal{L}{\int^{t}_{0}f} = \frac{1}{s} \mathcal{L}{f} $

 

Shifting

$u(t-a) =\begin{cases}0, & t < a \\1, & t \geq a\end{cases} \Rightarrow \mathcal{L}\{f(t - a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$

 

Sifting

$\delta(t) =\begin{cases}\infty, & t = 0 \\0, & t \neq 0\end{cases}\quad \text{and} \quad\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\,dt = 1$

 

$\Rightarrow \mathcal{L}\{\delta(t - a)\} = e^{-as}, \quad  \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t - a)\,dt = f(a)$

 

Convolution

$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau$

$\Rightarrow \mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = \mathcal{L}\{f(t)\} \cdot \mathcal{L}\{g(t)\} = F(s)G(s)$